数学
喜欢全景
这里先谈几件数学学习过程中的一些感受。一个是微积分中的stokes公式。我们的教育有个问题,是讲了太多的铺垫的东西,给你很多的细节,却不给你一个全景,我学了一年半的数学分析,但你要问微积分里最核心的东西,最全景的东西是什么,能不能一张纸一个公式囊括尽可能多的内容?老师们和很多数学学得很好的同学似乎都不屑这种问题,而我却贪求一个全景的东西,因为我发现我的智商或者记忆力远远不如周围优秀的同学,我对细节内容的记忆力和掌握力实在有限,所以用我有限的脑容量我总想尽可能装进去更本质更全景的东西。这个在微积分里,其实就是stokes公式,可惜的是我们上了一年半的数学分析都不讲这个最漂亮的部分,而大把的时间花在细节的解题技巧等等,直到课上完后,大家在准备复习考试时,我自己接着看了一些书,才豁然开朗,从stokes公式的角度俯瞰之前的各种微积分定理,有一种会当凌绝顶,一览众山小的感觉。
数学的全景我可怜的脑容量,只能记住最美的东西。这也有一些好处,就是出于这种节省,某种程度上使得我能够把中心的和基本的内容同那些没有原则重要性的表面部分区分开来,至少是区分开我认为美的东西和丑陋琐碎枝节的东西。
这里尝试对数学的全景做一个勾画,可能每个数学家对这个全景的看法都不一样,但每个人都有权力表达他自己的感受。
数学是研究自然的语言。我们相信,上帝用美丽的数学创造了世界。数学一方面是纯理性的构造,一切严密而完备的逻辑体系都可以作为数学的研究对象,这就好比语言学研究一切语法正确有意义的语句,从这个角度看数学是有很大任意性的,似乎很难梳理出全景,分清主干和细节。但另一方面,从数学的目的来看,数学目的在于描述自然,则可以根据这个目的将数学大致划分为代数、分析与几何这三块。
数学是定量化研究自然的工具,首先的问题是,什么是描述自然的量,这些量之间的关系是什么?这个是代数学。这些量如何变化,这个是分析学。这些量以及它们的结构和变换,使得自然展现出什么样的形状?自然的时空结构是什么?这个是几何学。
这三块也是我认为最美的一些数学理论,也是四年学下来我曾给我深刻印象的一些数学,都给我一种统一的美感。
代数:世界的构成与结构代数,就是研究世界的构成极其机构。
数学是定量化研究自然的工具,第一个要解决的问题是,什么是描述自然的量。这个问题最自然和原始的答案是自然数,正如这个名字,这似乎是逻辑上最简单自然的量了,自然数是人类对客观实体的分离独立性的抽象。有部分数学家甚至坚信,上帝只创造了自然数,其余的都是人为的。但自然数的结构毕竟太简单,能做加法和乘法,但除法不行,为了可以做除法便引入分数,为了减法可以任意进行引入负数,这些一起构成了有理数。继而为了自由地做极限运算,引入了无理数,这样就完备地构建了实数体系。物理量可以用实数来表达,这是大家对测量仪器读数的直觉抽象。至于复数是否有这种实在性,就不那么直觉了,但近代量子力学显示复数似乎是无法回避的,比如波函数是复函数。复数之后,还有四元数、八元数等。但四元数的乘法不符合交换律,而八元数则不满足于交换律和结合律,进一步的推广会丧失更多我们习惯的性质。这是一条推广量的思路。
另一条思路是,从标量到矢量到张量。有些物理量需要用一组纯数量来表达,如运动学中的位移、速度、加速度,力学中的力、力矩,电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波,广义相对论中的时空度规。关键思想是,这些数量本身是坐标系依赖的,不是本质的,这一组量具体的值会随坐标系的变换而变换,但这一组量背后的几何实体是客观不变的。这里面其实蕴含了相对论的思想,即物理规律的客观实在性,相对论的思想是物理规律必须不依赖于坐标系选取的主观任意性,或者说不依赖于观察者自身的特殊运动状态。这种物理量的推广方向,最简单的是协变矢量和反变矢量,更一般的推广是张量。张量简单的理解就是在坐标系变换下能像张量那样变换的东西,如A.Zee所说,tensor is something transform like a tensor.一般来说,张量的书都会讲这样一句很激动人心的话,一切物理量必须用张量来表述,仿佛“什么是描述自然的量”的最终答案已然找到就是张量,但往往有个讨厌的脚注,说旋量例外。这个问题表明,张量作为一种不依赖参考系变换的一般的量并不称职,至少来说此时的定义只对光滑坐标变换有意义,对一般任意坐标变换是没有意义的。如何找到真正对任意坐标变换都有意义的一个最一般的量?旋量的本质有是什么?与张量如何整合?这些问题的答案也许能给我们这个问题一个最终答案,到底什么是描述自然的量?
近代代数学其中很美的部分就是描述对称性的群论以及在几何学中的应用,对称性在物理里的重要性怎么高估都不为过。现代物理几乎被两种对称性所决定:相对论要求的时空对称性和规范原理要求的规范对称性。
我用这样一个比喻来说明,为什么代数就是研究世界的构成和结构。世界是由分子原子构成,原子由质子电子等基本粒子构成,这些基本粒子由夸克构成,夸克是什么,就是一堆对称性,由某些对称群决定。规范场理论对粒子物理的清晰指导,使得粒子世界仿佛建立在某种对称群之上。这样整个世界就建立在这种代数结构之上了。这就是粒子物理里的代数结构的研究,是很漂亮的一块研究领域。现代物理很大程度上就是对一些特殊群的研究。
最后我想提一下的是Clifford algebras的研究,这个可以看做是代数是复数、四元数和外代数的推广,并且结合了内积和外积两种运算。这也是一个充满这种推广和统一的美感的领域。
分析:世界如何变化代数学建立了描述自然的量,分析学就是研究这些量之间的关系。所谓微积分的思想就是,研究一些量的微小变化如何影响另一些量的微小变化,以及这种变化的整体效应。
数学分析里最漂亮的结果就是,微积分基本定理的推广,广义stokes公式,这个是分析学的高峰。这个定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同,深刻地反映了微积分的辩证关系。此结论还可推广到可定向分段光滑 n 维流形上。后来复分析里又有个类似的核心公式叫柯西积分公式,它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值,并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算。这两个公式分别是实数分析和复分析中的两个核心公式,有些许相似之处,那么一个很有趣的问题是,如何统一这两种积分公式?大学就曾经想过这个问题,但直到最近才找到这个有趣的问题的答案,那就是geometric calculus,这是一种全新的理解复数的方法,也导致了一种全新的统一地理解微积分的方法。如果这个方法能加入对分形函数的处理,那就完美了。
微积分成为了数学建立的典范,很多新的数学分支都可以看作是微积分在某种意义下的推广,比如最开始的一元函数微积分,到多元函数向量分析,到复分析,实分析,张量分析,到泛函分析。
微积分中的一些基本思想,和派生出的一些基本工具,在几何学,代数学里都有很多应用。比如用局部线性近似非线性(泰勒展开),函数极值则变化率为零等。这些思想都是各种分析学中都不断深刻体现的一些基本思想。比如在泛函分析中的最小作用量原理,思想就类似于最基本的一元函数中函数取极值则导数为零。
尽管分析学已经取得了巨大的成就,最后提一点潜在的问题和未来发展方向。整个分析学有一个基本的缺陷,所谓的可微性是要求自变量的微小变化带来的因变量的微小变化是同阶无穷小,而连续性则仅要求他们都是无穷小即可,这就意味着整个分析学能处理的所谓可微函数其实是一般连续函数中极其特殊和局限的一类函数。这个问题的突破将带来新的分析学。
几何:世界的形状几何起源于对我们世界空间的研究,比如欧式几何。这套几何体系基于几条尽可能最自然的、不证自明的公理,这些公理通过逻辑推演得出整个体系。尽管很多几何定理在欧几里得之前都有人提出,但欧几里得的伟大之处是从纷繁复杂的各种定理中找到几条最基本最自然最原始的定理,把它们作为原理而推出一切其它定理,这是最早最成功的一套公理体系。这种体系的力量就在于,只要我们坚信最底层的几条原理是正确的,那么逻辑推导出的一切定理无论其表观多么复杂多么不可思议,其正确性是毋庸置疑的。这就是数学的力量。当然,后来人们觉得第五条公理似乎并不那么简洁明了,似乎并不是不证自明,最终放弃了这条原理,而建立起非欧几何。可见选取什么作为公理确实有人为的任意性,一切都必须基于一定的假设和信仰。
几何学的进一步发展,源于代数和分析的方法普遍应用于几何。比如用代数方法研究几何诞生了解析几何,用分析方法研究几何诞生了微分几何。群论提供了一种统一检视各种几何的方法,每一种几何对应一个变换群, 各种几何研究的对象是各种在相应变换群下不变的性质。在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何,在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何,在射影变换群下保持不变的便是射影几何,在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。这一纲领非常伟大,因为它统一了大部分几何学;但也有不足,因为它没有把黎曼几何包括进来。于是,犹如物理学追求大统一理论一样,几何学也需要在更高的观点下统一——这就是由嘉当等人所发展的联络理论。
研究时空的几何结构可以说是相对论最本质的内容,相对论就是要发现真实的物理时空所遵循的对称性,或者说真实的时空的几何结构是什么。现有的微分几何框架是否足够丰富以描述真实时空的几何结构,特别是时空的量子效益?我寄希望于分析学的革命带来新的几何学,那就是分形几何。
最后简单说说分形几何。回顾几何学的发展,最初从丈量大地的生产实践中抽象出欧式几何这种平直时空的概念,后来就是脱离自然直觉,埋头从数学逻辑体系自身发展,一直发展出解析几何、非欧几何、微分几何等等。但我们再抬头反观自然,大自然中处处呈现的是一种分形的几何,天空的云彩,大地的山脉河流,花草树木,无不有分形特性,我们现有的数学对这一类几何的刻画是很无力的。不得不说,近代的几何学已然发展得非常艰深了,但造物主之智慧永远远远高于我们人类,他用他所创造之物,告诫并指引着人类前进。
其他的数学除了以上三块,我这里也谈谈其他的数学。主要是所谓的随机数学,计算数学和其他一些应用数学。随机数学是很重要的一块,从实用的角度看,概率统计的东西用来处理复杂系统甚至比前面提到的分析等更有效。我认为这是分析学发展得还不够的原因。我的直觉和愿望是,随机数学是描述不可微函数的一种权宜,有朝一日可以把随机数学融入到三大主流之中就最好了。但无论如何,不可否认随机数学在生存实践中的巨大实用价值。
还有计算数学,尽管这个词的具体内容并不明确,我泛指借助计算机来模拟的一种方法,这种方法在计算机出现后迅猛兴起,日益强大。最杰出的代表就是,Stephen Wolfram,这是个天才式的人物,他开发了一个强大的计算软件Mathematica,他的一种哲学是简单的规则通过迭代运算可以导致复杂的结果,唯一知道结果的方法就是让自然运算下去,并且把这种思想总结为A New Kind of Science,一种新的科学范式。
计算数学在处理工程中的实际问题确实是威力巨大的,但这和我们熟知的数学语言,熟知的物理学还是相去甚远,而且Wolfram的东西只是计算世界的东西,要和真实世界关联起来似乎很难,如果关联不起来,就是一种数学游戏了。我个人更愿意相信那种精炼简洁漂亮的方程来描述自然。
数学和物理这里我想谈谈数学和物理的密切关系和本质区别。
数学研究的是逻辑上成立的一切可能性,讲究的是合理性。物理则是要找到一切可能性中真实世界所遵循的那唯一真实的可能,讲究的是真实性。
所以数学上,无所谓是欧式几何还是非欧几何哪一种几何更真实,数学只关心它们内部逻辑一致性和严密性,它们都在数学上都是合理的存在。但物理则不同,物理关心的问题就是真实的自然遵循那种数学,真实的时空是平直的还是弯曲的,哪种才是真实的? 所以实质上物理关心的是什么条件下真实的物理世界可以用何种数学来描述,这是物理学的核心问题。
历史上,也确实如此,经常有这种情况,数学家凭空创造的数学概念在很多年后才被物理学家发现其和自然的联系,比如黎曼创造的弯曲几何,比如虚数最开始是个纯数学的构造后来发现在量子力学里变得不可或缺。
再有一个例子,陈省身建立的整体微分几何学,恰为杨振宁所创立的规范场论提供了合适而精致的数学框架。这一科学渊源,事先任何人都没有想到过。杨振宁曾经对陈省身说:“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致,对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认:“不,不,这些概念不是凭空想象出来的,它们是自然的,也是真实的!”
这种数学是很好的数学,可谓是从更高的一个层次上,发现或叫创造了这个世界。但问题是,这种很好的数学并不多。这里我要强调的反倒是另一点,在某种意义下,数学要大于物理,因为物理只关心数学里和真实自然发生关系的那一些数学,所以不可避免地,数学里也有大部分的是跟真实物理世界没有关系的枝节性的东西,只是一种逻辑游戏而已。
有一些数学家相信,数学家构造数学可以完全不受真实物理世界的束缚。我只部分同意这种观点,因为数学概念之初,还是必须是来源于我们的直觉经验,比如最初人们凭借自己的直觉,相信欧式几何是唯一合理的几何。只是后来的研究可以从逻辑体系本身出发,而摆脱直接的经验直觉,于是人们发现平行公式似乎不够自然,然后大胆地放弃之,而讨论一切逻辑上可能的情况,这才导致非欧几何的出现。人们创造自然数,也是出于对离散物体的天然直觉,后来又推广之负数,有理数,无理数,实数乃至复数,这些都越来越远离直觉。这种出于对逻辑体系本身的审视而带来的每次对旧有概念的推广和超越,确实是最好的数学所在,而且往往这种超越最后又发现了在真实物质世界中的对应。
总结一下,原始的数学概念起源于直接的直觉经验,然后自身内部逻辑体系的发展,然后产生的新概念又被发现了在真实物质世界中有所对应,而这种对应又打开了人类认知物质世界的新视野。物质—理念—物质,物理—数学—物理,这种否定之否定的飞跃实在是科学中最让人惊艳的大美。
数学的进步我用下面这个例子来区别所谓这种好的本质的数学和枝节性的数学,在欧式几何框架下的研究内容,最开始就是我们高中所熟悉的,从欧式几何公理出发,研究简单的几何体如平面上的直线平行线三角圆等等,这些固然是重要的,而且这个研究是无穷无尽的,你是有无穷多的细节的问题可以去把玩的,正如我们高考试题和竞赛试题层出不穷一样,永远有各种奇怪的定理可以去证明,比如三角形九点共圆,三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点连线的中点,这九个点分布在同一圆上。这种研究从纯数学的角度看,固然是可以的,而且是美的,但毕竟只是一种智力游戏,属于枝节性的东西,如果沉溺于此则是局限于一个小框架里的低层次的重复罢了,这也是高中教育让我对数学产生的误解。
还以高中数学为例,那么更好一些的数学可以是引入新工具到旧领域,外向的,比如解析几何。利用解析代数的工具来研究几何,使得几何的研究变得精确定量化,这是一个飞跃,很多以前很复杂的几何证明题,都可以用解析几何的方法来算,几乎成了一个一劳永逸的通解,这就是大巧若拙,如果人们沉溺于那些证明技巧而不是跳出来引入新的工具则永远有无穷无尽的题目要去证明。后来继续用更高端的工具,比如微积分来研究几何,就是成就了微分几何。所以我认为微分几何的下一步发展趋势,还是需要分析的新发展。
另一种好的数学是,内向的,颠覆基础而重建,比如非欧几何。对平行公理的突破,导致独立欧式几何之外的新几何体系的诞生。这也是一种跳出原有框架,根本性的突破和发展。
总之,向外发展发现不同领域之间的联系,或者向内发展重建领域基础,都是创造性的超越,都是根本性的进步。
天外有天这里还要谈一下数学学习过程中的一个惊讶,那种感觉可以叫做天外有天。举个简单例子,就是从有理数到实数的飞跃。无理数的发现,曾经导致数学史上的危机,大家对这么奇怪的量感到不解甚至恐惧和敌视,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派提出“万物皆数”的信仰,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的。但他的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现让人不解甚至恐惧,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。但人们的质疑并没就此停止,这激励大家去探索。起初这种奇怪的数只有一些特殊的例子,比如对角线长度等,但经过很长的研究,直到实数理论的建立才彻底澄清了这一问题。人们惊讶地发现无理数这种怪物,不是少数,恰恰相反,在整个实数轴上,无理数反而是占绝对主导性的,打个比方,在实数轴上随机取一个数,是有理数的概率是0,而找到一个无理数的概率是1. 这其实是一个很大的惊讶。
另一个类似的惊讶是,我们的微积分通常讨论的函数都是可微的,甚至是无穷可微的光滑函数。而人们以前也相信,连续函数应该只是在很少的地方不可微。早期的数学家包括高斯都认为这是对的,一些书籍甚至把此看法当作定理,写了证明(现在看来,显然是不严格的,比如说他们可能只考虑了初等函数)。总之大家相信基本不用关心不可微的情况。但后来,Weierstrass函数的发现,让很多数学家大跌眼镜,惊叹为怪物。这是一个利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数。完全类似地,后来人们发现这种处处连续而处处不可导的函数在连续函数中占据了绝对的大多数,就像无理数之于实数一样。问题是,我们对这一大类的不可微函数完全没有手段来处理,我们不能对其进行分类,不能写出他们的表述,不能进行微积分运算,这是我认为亟待解决的问题。
这种惊讶在当代物理学里也出现了,我们现在知道,我们通常所讨论的物质和能量,只是占了整个宇宙的很小比例,而超过百分之九十以上的是我们目前一无所知的暗能量和暗物质。这也是对我们目前物理学的莫大的讽刺。
科学的源头说到无理数发现者的遭遇,我简单谈谈,我觉得这固然是数学史上的一桩悲剧,但也从一个侧面反映了毕达哥拉斯学派对数学宗教般的信仰。这种信仰和其他宗教一样,在早期都有一些野蛮和专横,但经过不断地自我革新以后,变成了很好的东西,比如现在的基督教。反而是中国的文化,是彻底的世俗的实用哲学,从来都没有过这种超越世俗的信仰,导致真正的科学不可能在中国诞生。我觉得,没有信仰的文明是可悲的,这也是现今的诸多时弊的根源。
近代科学的源头,可以说就来源于古希腊两个流派,一个就是毕氏学派的“万物皆数”,一个就是德谟克利特的“原子论”。这两派,可以分别叫做唯理派和唯物派,我认为这种区分只是低层次的,在更高层次上,是统一的,科学的目标就是要搞清楚物质世界最深层次对应的理念,而这种理念必须通过某种数学来体现。
可与不可前面说的,数学本来是要研究逻辑上成立的一切的可能性。但由于种种原因,数学家并不是万能的,很多情况下,为了研究的可操作性,数学家往往选择所有可能性中最简单的开始研究,而放下其他的可能性。比如不可微函数,只是我们的微积分的手段太有限了,所以不能处理这种函数,我们就姑且取这种名字“不可微”,但讽刺的是,“不可”的东西是占绝大多数的,“可”的东西则是微不足道的少数。数学家为了研究的方便,选择了“可研究”的东西,放下了暂时不可研究的东西,但不能老是忘在那里,得面对我们的无知。所谓的“不可”必将被更高层次的“可”所替代。就像“无理数”其实非常有道理一样。
期待新数学:数学的统一前面分别谈了分析、代数和几何这三块数学中我认为最漂亮的部分。这三块都很深,每一块里的每一个小分支的一个小问题都可以轻松耗掉一个极端聪明的数学家一辈子的精力,这对于我这种喜欢全景的人是很不利的。这里我要提一下就是,由Hestenes 和 Anthony Lasenby等人发展的Geometric algebra 和 Geometric calculus,可谓是集结了这三块数学中最美的部分,这正是我最喜欢的那种风格。
关于数学,最后还要提到一个我认为很重要,但在经典数学中研究非常少的问题。这就是分形几何,具体到函数理论中,就是连续不可微的函数。我个人认为,分形几何是几何学的未来,处理不可微这种函数的方法,是分析学的未来。
所以我的目标是,发展Geometric calculus 推广至可以处理分形这种新的几何,或许叫 Fractal Geometric Calculus,或者就可以理解为Non-differential geometry。
首先将张量与旋量等做一般化推广,得到最一般的变量。然后建立处理这些量的一般连续变化的处理方法,即可处理最一般的函数的分析,特别是不可微。由此建立更一般的不可微几何,起如果这种不可微几何发展起来后,随机现象可以找到一个更可靠的基础,那么数学就找到了一个统一的基础。
喜欢全景
这里先谈几件数学学习过程中的一些感受。一个是微积分中的stokes公式。我们的教育有个问题,是讲了太多的铺垫的东西,给你很多的细节,却不给你一个全景,我学了一年半的数学分析,但你要问微积分里最核心的东西,最全景的东西是什么,能不能一张纸一个公式囊括尽可能多的内容?老师们和很多数学学得很好的同学似乎都不屑这种问题,而我却贪求一个全景的东西,因为我发现我的智商或者记忆力远远不如周围优秀的同学,我对细节内容的记忆力和掌握力实在有限,所以用我有限的脑容量我总想尽可能装进去更本质更全景的东西。这个在微积分里,其实就是stokes公式,可惜的是我们上了一年半的数学分析都不讲这个最漂亮的部分,而大把的时间花在细节的解题技巧等等,直到课上完后,大家在准备复习考试时,我自己接着看了一些书,才豁然开朗,从stokes公式的角度俯瞰之前的各种微积分定理,有一种会当凌绝顶,一览众山小的感觉。
数学的全景我可怜的脑容量,只能记住最美的东西。这也有一些好处,就是出于这种节省,某种程度上使得我能够把中心的和基本的内容同那些没有原则重要性的表面部分区分开来,至少是区分开我认为美的东西和丑陋琐碎枝节的东西。
这里尝试对数学的全景做一个勾画,可能每个数学家对这个全景的看法都不一样,但每个人都有权力表达他自己的感受。
数学是研究自然的语言。我们相信,上帝用美丽的数学创造了世界。数学一方面是纯理性的构造,一切严密而完备的逻辑体系都可以作为数学的研究对象,这就好比语言学研究一切语法正确有意义的语句,从这个角度看数学是有很大任意性的,似乎很难梳理出全景,分清主干和细节。但另一方面,从数学的目的来看,数学目的在于描述自然,则可以根据这个目的将数学大致划分为代数、分析与几何这三块。
数学是定量化研究自然的工具,首先的问题是,什么是描述自然的量,这些量之间的关系是什么?这个是代数学。这些量如何变化,这个是分析学。这些量以及它们的结构和变换,使得自然展现出什么样的形状?自然的时空结构是什么?这个是几何学。
这三块也是我认为最美的一些数学理论,也是四年学下来我曾给我深刻印象的一些数学,都给我一种统一的美感。
代数:世界的构成与结构代数,就是研究世界的构成极其机构。
数学是定量化研究自然的工具,第一个要解决的问题是,什么是描述自然的量。这个问题最自然和原始的答案是自然数,正如这个名字,这似乎是逻辑上最简单自然的量了,自然数是人类对客观实体的分离独立性的抽象。有部分数学家甚至坚信,上帝只创造了自然数,其余的都是人为的。但自然数的结构毕竟太简单,能做加法和乘法,但除法不行,为了可以做除法便引入分数,为了减法可以任意进行引入负数,这些一起构成了有理数。继而为了自由地做极限运算,引入了无理数,这样就完备地构建了实数体系。物理量可以用实数来表达,这是大家对测量仪器读数的直觉抽象。至于复数是否有这种实在性,就不那么直觉了,但近代量子力学显示复数似乎是无法回避的,比如波函数是复函数。复数之后,还有四元数、八元数等。但四元数的乘法不符合交换律,而八元数则不满足于交换律和结合律,进一步的推广会丧失更多我们习惯的性质。这是一条推广量的思路。
另一条思路是,从标量到矢量到张量。有些物理量需要用一组纯数量来表达,如运动学中的位移、速度、加速度,力学中的力、力矩,电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波,广义相对论中的时空度规。关键思想是,这些数量本身是坐标系依赖的,不是本质的,这一组量具体的值会随坐标系的变换而变换,但这一组量背后的几何实体是客观不变的。这里面其实蕴含了相对论的思想,即物理规律的客观实在性,相对论的思想是物理规律必须不依赖于坐标系选取的主观任意性,或者说不依赖于观察者自身的特殊运动状态。这种物理量的推广方向,最简单的是协变矢量和反变矢量,更一般的推广是张量。张量简单的理解就是在坐标系变换下能像张量那样变换的东西,如A.Zee所说,tensor is something transform like a tensor.一般来说,张量的书都会讲这样一句很激动人心的话,一切物理量必须用张量来表述,仿佛“什么是描述自然的量”的最终答案已然找到就是张量,但往往有个讨厌的脚注,说旋量例外。这个问题表明,张量作为一种不依赖参考系变换的一般的量并不称职,至少来说此时的定义只对光滑坐标变换有意义,对一般任意坐标变换是没有意义的。如何找到真正对任意坐标变换都有意义的一个最一般的量?旋量的本质有是什么?与张量如何整合?这些问题的答案也许能给我们这个问题一个最终答案,到底什么是描述自然的量?
近代代数学其中很美的部分就是描述对称性的群论以及在几何学中的应用,对称性在物理里的重要性怎么高估都不为过。现代物理几乎被两种对称性所决定:相对论要求的时空对称性和规范原理要求的规范对称性。
我用这样一个比喻来说明,为什么代数就是研究世界的构成和结构。世界是由分子原子构成,原子由质子电子等基本粒子构成,这些基本粒子由夸克构成,夸克是什么,就是一堆对称性,由某些对称群决定。规范场理论对粒子物理的清晰指导,使得粒子世界仿佛建立在某种对称群之上。这样整个世界就建立在这种代数结构之上了。这就是粒子物理里的代数结构的研究,是很漂亮的一块研究领域。现代物理很大程度上就是对一些特殊群的研究。
最后我想提一下的是Clifford algebras的研究,这个可以看做是代数是复数、四元数和外代数的推广,并且结合了内积和外积两种运算。这也是一个充满这种推广和统一的美感的领域。
分析:世界如何变化代数学建立了描述自然的量,分析学就是研究这些量之间的关系。所谓微积分的思想就是,研究一些量的微小变化如何影响另一些量的微小变化,以及这种变化的整体效应。
数学分析里最漂亮的结果就是,微积分基本定理的推广,广义stokes公式,这个是分析学的高峰。这个定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同,深刻地反映了微积分的辩证关系。此结论还可推广到可定向分段光滑 n 维流形上。后来复分析里又有个类似的核心公式叫柯西积分公式,它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值,并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算。这两个公式分别是实数分析和复分析中的两个核心公式,有些许相似之处,那么一个很有趣的问题是,如何统一这两种积分公式?大学就曾经想过这个问题,但直到最近才找到这个有趣的问题的答案,那就是geometric calculus,这是一种全新的理解复数的方法,也导致了一种全新的统一地理解微积分的方法。如果这个方法能加入对分形函数的处理,那就完美了。
微积分成为了数学建立的典范,很多新的数学分支都可以看作是微积分在某种意义下的推广,比如最开始的一元函数微积分,到多元函数向量分析,到复分析,实分析,张量分析,到泛函分析。
微积分中的一些基本思想,和派生出的一些基本工具,在几何学,代数学里都有很多应用。比如用局部线性近似非线性(泰勒展开),函数极值则变化率为零等。这些思想都是各种分析学中都不断深刻体现的一些基本思想。比如在泛函分析中的最小作用量原理,思想就类似于最基本的一元函数中函数取极值则导数为零。
尽管分析学已经取得了巨大的成就,最后提一点潜在的问题和未来发展方向。整个分析学有一个基本的缺陷,所谓的可微性是要求自变量的微小变化带来的因变量的微小变化是同阶无穷小,而连续性则仅要求他们都是无穷小即可,这就意味着整个分析学能处理的所谓可微函数其实是一般连续函数中极其特殊和局限的一类函数。这个问题的突破将带来新的分析学。
几何:世界的形状几何起源于对我们世界空间的研究,比如欧式几何。这套几何体系基于几条尽可能最自然的、不证自明的公理,这些公理通过逻辑推演得出整个体系。尽管很多几何定理在欧几里得之前都有人提出,但欧几里得的伟大之处是从纷繁复杂的各种定理中找到几条最基本最自然最原始的定理,把它们作为原理而推出一切其它定理,这是最早最成功的一套公理体系。这种体系的力量就在于,只要我们坚信最底层的几条原理是正确的,那么逻辑推导出的一切定理无论其表观多么复杂多么不可思议,其正确性是毋庸置疑的。这就是数学的力量。当然,后来人们觉得第五条公理似乎并不那么简洁明了,似乎并不是不证自明,最终放弃了这条原理,而建立起非欧几何。可见选取什么作为公理确实有人为的任意性,一切都必须基于一定的假设和信仰。
几何学的进一步发展,源于代数和分析的方法普遍应用于几何。比如用代数方法研究几何诞生了解析几何,用分析方法研究几何诞生了微分几何。群论提供了一种统一检视各种几何的方法,每一种几何对应一个变换群, 各种几何研究的对象是各种在相应变换群下不变的性质。在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何,在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何,在射影变换群下保持不变的便是射影几何,在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。这一纲领非常伟大,因为它统一了大部分几何学;但也有不足,因为它没有把黎曼几何包括进来。于是,犹如物理学追求大统一理论一样,几何学也需要在更高的观点下统一——这就是由嘉当等人所发展的联络理论。
研究时空的几何结构可以说是相对论最本质的内容,相对论就是要发现真实的物理时空所遵循的对称性,或者说真实的时空的几何结构是什么。现有的微分几何框架是否足够丰富以描述真实时空的几何结构,特别是时空的量子效益?我寄希望于分析学的革命带来新的几何学,那就是分形几何。
最后简单说说分形几何。回顾几何学的发展,最初从丈量大地的生产实践中抽象出欧式几何这种平直时空的概念,后来就是脱离自然直觉,埋头从数学逻辑体系自身发展,一直发展出解析几何、非欧几何、微分几何等等。但我们再抬头反观自然,大自然中处处呈现的是一种分形的几何,天空的云彩,大地的山脉河流,花草树木,无不有分形特性,我们现有的数学对这一类几何的刻画是很无力的。不得不说,近代的几何学已然发展得非常艰深了,但造物主之智慧永远远远高于我们人类,他用他所创造之物,告诫并指引着人类前进。
其他的数学除了以上三块,我这里也谈谈其他的数学。主要是所谓的随机数学,计算数学和其他一些应用数学。随机数学是很重要的一块,从实用的角度看,概率统计的东西用来处理复杂系统甚至比前面提到的分析等更有效。我认为这是分析学发展得还不够的原因。我的直觉和愿望是,随机数学是描述不可微函数的一种权宜,有朝一日可以把随机数学融入到三大主流之中就最好了。但无论如何,不可否认随机数学在生存实践中的巨大实用价值。
还有计算数学,尽管这个词的具体内容并不明确,我泛指借助计算机来模拟的一种方法,这种方法在计算机出现后迅猛兴起,日益强大。最杰出的代表就是,Stephen Wolfram,这是个天才式的人物,他开发了一个强大的计算软件Mathematica,他的一种哲学是简单的规则通过迭代运算可以导致复杂的结果,唯一知道结果的方法就是让自然运算下去,并且把这种思想总结为A New Kind of Science,一种新的科学范式。
计算数学在处理工程中的实际问题确实是威力巨大的,但这和我们熟知的数学语言,熟知的物理学还是相去甚远,而且Wolfram的东西只是计算世界的东西,要和真实世界关联起来似乎很难,如果关联不起来,就是一种数学游戏了。我个人更愿意相信那种精炼简洁漂亮的方程来描述自然。
数学和物理这里我想谈谈数学和物理的密切关系和本质区别。
数学研究的是逻辑上成立的一切可能性,讲究的是合理性。物理则是要找到一切可能性中真实世界所遵循的那唯一真实的可能,讲究的是真实性。
所以数学上,无所谓是欧式几何还是非欧几何哪一种几何更真实,数学只关心它们内部逻辑一致性和严密性,它们都在数学上都是合理的存在。但物理则不同,物理关心的问题就是真实的自然遵循那种数学,真实的时空是平直的还是弯曲的,哪种才是真实的? 所以实质上物理关心的是什么条件下真实的物理世界可以用何种数学来描述,这是物理学的核心问题。
历史上,也确实如此,经常有这种情况,数学家凭空创造的数学概念在很多年后才被物理学家发现其和自然的联系,比如黎曼创造的弯曲几何,比如虚数最开始是个纯数学的构造后来发现在量子力学里变得不可或缺。
再有一个例子,陈省身建立的整体微分几何学,恰为杨振宁所创立的规范场论提供了合适而精致的数学框架。这一科学渊源,事先任何人都没有想到过。杨振宁曾经对陈省身说:“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致,对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认:“不,不,这些概念不是凭空想象出来的,它们是自然的,也是真实的!”
这种数学是很好的数学,可谓是从更高的一个层次上,发现或叫创造了这个世界。但问题是,这种很好的数学并不多。这里我要强调的反倒是另一点,在某种意义下,数学要大于物理,因为物理只关心数学里和真实自然发生关系的那一些数学,所以不可避免地,数学里也有大部分的是跟真实物理世界没有关系的枝节性的东西,只是一种逻辑游戏而已。
有一些数学家相信,数学家构造数学可以完全不受真实物理世界的束缚。我只部分同意这种观点,因为数学概念之初,还是必须是来源于我们的直觉经验,比如最初人们凭借自己的直觉,相信欧式几何是唯一合理的几何。只是后来的研究可以从逻辑体系本身出发,而摆脱直接的经验直觉,于是人们发现平行公式似乎不够自然,然后大胆地放弃之,而讨论一切逻辑上可能的情况,这才导致非欧几何的出现。人们创造自然数,也是出于对离散物体的天然直觉,后来又推广之负数,有理数,无理数,实数乃至复数,这些都越来越远离直觉。这种出于对逻辑体系本身的审视而带来的每次对旧有概念的推广和超越,确实是最好的数学所在,而且往往这种超越最后又发现了在真实物质世界中的对应。
总结一下,原始的数学概念起源于直接的直觉经验,然后自身内部逻辑体系的发展,然后产生的新概念又被发现了在真实物质世界中有所对应,而这种对应又打开了人类认知物质世界的新视野。物质—理念—物质,物理—数学—物理,这种否定之否定的飞跃实在是科学中最让人惊艳的大美。
数学的进步我用下面这个例子来区别所谓这种好的本质的数学和枝节性的数学,在欧式几何框架下的研究内容,最开始就是我们高中所熟悉的,从欧式几何公理出发,研究简单的几何体如平面上的直线平行线三角圆等等,这些固然是重要的,而且这个研究是无穷无尽的,你是有无穷多的细节的问题可以去把玩的,正如我们高考试题和竞赛试题层出不穷一样,永远有各种奇怪的定理可以去证明,比如三角形九点共圆,三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点连线的中点,这九个点分布在同一圆上。这种研究从纯数学的角度看,固然是可以的,而且是美的,但毕竟只是一种智力游戏,属于枝节性的东西,如果沉溺于此则是局限于一个小框架里的低层次的重复罢了,这也是高中教育让我对数学产生的误解。
还以高中数学为例,那么更好一些的数学可以是引入新工具到旧领域,外向的,比如解析几何。利用解析代数的工具来研究几何,使得几何的研究变得精确定量化,这是一个飞跃,很多以前很复杂的几何证明题,都可以用解析几何的方法来算,几乎成了一个一劳永逸的通解,这就是大巧若拙,如果人们沉溺于那些证明技巧而不是跳出来引入新的工具则永远有无穷无尽的题目要去证明。后来继续用更高端的工具,比如微积分来研究几何,就是成就了微分几何。所以我认为微分几何的下一步发展趋势,还是需要分析的新发展。
另一种好的数学是,内向的,颠覆基础而重建,比如非欧几何。对平行公理的突破,导致独立欧式几何之外的新几何体系的诞生。这也是一种跳出原有框架,根本性的突破和发展。
总之,向外发展发现不同领域之间的联系,或者向内发展重建领域基础,都是创造性的超越,都是根本性的进步。
天外有天这里还要谈一下数学学习过程中的一个惊讶,那种感觉可以叫做天外有天。举个简单例子,就是从有理数到实数的飞跃。无理数的发现,曾经导致数学史上的危机,大家对这么奇怪的量感到不解甚至恐惧和敌视,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派提出“万物皆数”的信仰,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的。但他的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现让人不解甚至恐惧,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。但人们的质疑并没就此停止,这激励大家去探索。起初这种奇怪的数只有一些特殊的例子,比如对角线长度等,但经过很长的研究,直到实数理论的建立才彻底澄清了这一问题。人们惊讶地发现无理数这种怪物,不是少数,恰恰相反,在整个实数轴上,无理数反而是占绝对主导性的,打个比方,在实数轴上随机取一个数,是有理数的概率是0,而找到一个无理数的概率是1. 这其实是一个很大的惊讶。
另一个类似的惊讶是,我们的微积分通常讨论的函数都是可微的,甚至是无穷可微的光滑函数。而人们以前也相信,连续函数应该只是在很少的地方不可微。早期的数学家包括高斯都认为这是对的,一些书籍甚至把此看法当作定理,写了证明(现在看来,显然是不严格的,比如说他们可能只考虑了初等函数)。总之大家相信基本不用关心不可微的情况。但后来,Weierstrass函数的发现,让很多数学家大跌眼镜,惊叹为怪物。这是一个利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数。完全类似地,后来人们发现这种处处连续而处处不可导的函数在连续函数中占据了绝对的大多数,就像无理数之于实数一样。问题是,我们对这一大类的不可微函数完全没有手段来处理,我们不能对其进行分类,不能写出他们的表述,不能进行微积分运算,这是我认为亟待解决的问题。
这种惊讶在当代物理学里也出现了,我们现在知道,我们通常所讨论的物质和能量,只是占了整个宇宙的很小比例,而超过百分之九十以上的是我们目前一无所知的暗能量和暗物质。这也是对我们目前物理学的莫大的讽刺。
科学的源头说到无理数发现者的遭遇,我简单谈谈,我觉得这固然是数学史上的一桩悲剧,但也从一个侧面反映了毕达哥拉斯学派对数学宗教般的信仰。这种信仰和其他宗教一样,在早期都有一些野蛮和专横,但经过不断地自我革新以后,变成了很好的东西,比如现在的基督教。反而是中国的文化,是彻底的世俗的实用哲学,从来都没有过这种超越世俗的信仰,导致真正的科学不可能在中国诞生。我觉得,没有信仰的文明是可悲的,这也是现今的诸多时弊的根源。
近代科学的源头,可以说就来源于古希腊两个流派,一个就是毕氏学派的“万物皆数”,一个就是德谟克利特的“原子论”。这两派,可以分别叫做唯理派和唯物派,我认为这种区分只是低层次的,在更高层次上,是统一的,科学的目标就是要搞清楚物质世界最深层次对应的理念,而这种理念必须通过某种数学来体现。
可与不可前面说的,数学本来是要研究逻辑上成立的一切的可能性。但由于种种原因,数学家并不是万能的,很多情况下,为了研究的可操作性,数学家往往选择所有可能性中最简单的开始研究,而放下其他的可能性。比如不可微函数,只是我们的微积分的手段太有限了,所以不能处理这种函数,我们就姑且取这种名字“不可微”,但讽刺的是,“不可”的东西是占绝大多数的,“可”的东西则是微不足道的少数。数学家为了研究的方便,选择了“可研究”的东西,放下了暂时不可研究的东西,但不能老是忘在那里,得面对我们的无知。所谓的“不可”必将被更高层次的“可”所替代。就像“无理数”其实非常有道理一样。
期待新数学:数学的统一前面分别谈了分析、代数和几何这三块数学中我认为最漂亮的部分。这三块都很深,每一块里的每一个小分支的一个小问题都可以轻松耗掉一个极端聪明的数学家一辈子的精力,这对于我这种喜欢全景的人是很不利的。这里我要提一下就是,由Hestenes 和 Anthony Lasenby等人发展的Geometric algebra 和 Geometric calculus,可谓是集结了这三块数学中最美的部分,这正是我最喜欢的那种风格。
关于数学,最后还要提到一个我认为很重要,但在经典数学中研究非常少的问题。这就是分形几何,具体到函数理论中,就是连续不可微的函数。我个人认为,分形几何是几何学的未来,处理不可微这种函数的方法,是分析学的未来。
所以我的目标是,发展Geometric calculus 推广至可以处理分形这种新的几何,或许叫 Fractal Geometric Calculus,或者就可以理解为Non-differential geometry。
首先将张量与旋量等做一般化推广,得到最一般的变量。然后建立处理这些量的一般连续变化的处理方法,即可处理最一般的函数的分析,特别是不可微。由此建立更一般的不可微几何,起如果这种不可微几何发展起来后,随机现象可以找到一个更可靠的基础,那么数学就找到了一个统一的基础。